Exponenciální růst

Svoboda znamená svobodně prohlásit, že dvě a dvě jsou čtyři. Jestliže toto je dáno, všechno ostatní z toho vyplyne. (G. Orwell) Definice šílenství je dělat stejnou věc znovu a znovu a očekávat jiné výsledky. (A. Einstein)

Jdou funkce po Karlově mostě. Náhle mezi nimi propukne zmatek. „Pozor, blíží se derivace!“ volají. Funkce se rozprchnou, některé dokonce skočí do Vltavy, jen jedna kráčí nerušeně dál. Derivace k ní přijde a ptá se: „Ty se mě nebojíš?“ „Ne, já jsem e na x-tou,“ odpoví funkce. „Jenže já derivuji podle y.“

„Kockaté hlavy“, jak nás nazývala jedna známá ze Slovenska, mají humor, který ostatním může připadat nepochopitelný. Nicméně, těm, kteří ke znalostem základů diferenciálního počtu neměli přístup, budiž objasněna pointa vtipu – funkce e na x-tou, kde e je konstanta, tzv. Eulerovo číslo, má první derivaci rovnu taktéž e na x-tou (a tudíž by se při předpokládaném derivování dle x nezměnila).

Pro jiné exponenciální funkce je první derivace trochu složitější – pro funkci a na x-tou je rovna a na x-tou. ln(a), pokud je a > 0. První derivace také určuje, zda je funkce v daném bodě x rostoucí. Pro exponenciální funkce tedy platí, že jsou rostoucí, pokud je ln(a) > 0,tj. je-li základ a>1.

Exponenciální funkce popisují i šíření nákazy v populaci. Je tu však několik rozdílů. Ten drobný je v tom, že osa x představuje čas (obvykle značený t) a že čas je zpomalený o sériový interval konkrétní nemoci. Čas zastavit neumíme, a pokud vir nezmutuje, je jeho sériový interval konstantní. Ten důležitější je, že základ, reprodukční číslo R, konstantní být nemusí a v čase se mění podle přijatých opatření a míry jejich dodržování. I tak ale stále platí, že se jedná (v okolí bodu t na časové ose) o exponenciální růst nebo pokles (pokud abstrahujeme od singulárního případu, kdy se Rt rovná právě 1 a kdy zůstane počet konstantní). Např. dojde-li ke snížení z Rt1 = 2 na Rt2 = 1,35, nakazí se dvojnásobek lidí nikoliv za 5, ale zhruba za 12 dní. Neměl tedy pravdu Ladislav Dušek, když tvrdil: „Stále jde tedy o kontrolované šíření nemoci, lineární, nikoli exponenciální.“

Chci věřit, že tímto nepřesným výrokem chtěl p. prof. RNDr. Ladislav Dušek, Ph.D. chtěl sdělit něco jiného, ale v této souvislosti se nemohu zbavit otázky, zda vůbec existuje nějaká predikce, nakolik by měla snížit vyhlašovaná opatření reprodukční číslo R (a zda je možné, aby i v ideálním případě kleslo pod 1, resp. zda je toto cílem) a jaké budou další kroky, ať už se tyto predikce naplní nebo nenaplní.

Prozatím se zdá, že R pod magickou hodnotu 1 neklesá, tudíž je potřeba se připravit na nárůst počtu těch, kteří budou potřebovat pomoc. V předchozím článku (jehož jsem byl pouze překladatel) zaznělo doporučení spíše než počty detekovaných případů sledovat nápor na nemocnice, např. počty odmítnutých pacientů s těžkými příznaky (příp. s pozitivním testem). Zaznívají hlasy, jako např. v tomto diskuzním příspěvku, že ani tato druhá obranná linie není právě připravena. Prý se to ale koncem minulého týdne zlepšilo díky systému sledujícímu vytíženost příslušných lůžek.

Paralelně s tím by se však nemělo zapomínat, že zdravotnictví neřeší jen covid-19 – dle tohoto článku (v angl.) je možné, že z nejrůznějších důvodů, mezi něž patří nedostupnost péče, obavy obrátit se na zdravotnictví, ale i psychické problémy z přetížení či izolace, došlo ve Spojeném království v nejkritičtějším období k navýšení dvou úmrtí na každé tři připisované viru. Z toho by vyplývalo, že ani případný lockdown není řešením, pouze výměnou jednoho problému za jiný, snad (skutečné porovnání nebude možné) s menšími následky.

Reprodukční číslo R je však takový makroukazatel – jedinec se může nakazit i při hodnotách pod 0,5 a následky nemusí být o nic méně fatální. I proto by bylo vhodné toto číslo více přiblížit konkrétní osobě a predikci rizika, resp. přiměřená ochranná opatření ukázat na plánovaných činnostech v plánovaných lokacích – obdobně jako mapy dokáží spočítat plánovanou dobu dojezdu podle aktuální polohy, plánovaného cíle, způsobu dopravy a průběžně aktualizované dopravní situace.

Myslím, že tento personalizovaný způsob by byl pro mnohé přijatelnější. A bude-li to nutné, může klidně obsahovat jak povinná, tak volitelná opatření (obdobně jako si motoristé musí platit povinné ručení a dle svého uvážení připlatit havarijní pojištění).

Častokrát se uvádí, že opatření nefungují, protože je lidé odmítají dodržovat. Čínský stratég Sun-c’k tomu říkal, že je potřeba poznat i nepřítele, i sebe sama. Nebo chcete-li, ignorovat při tvorbě strategie vlastní silné a (zejména) slabé stránky, je chybou stratéga. U současné vládní reprezentace by se dalo předpokládat, že chápe, že mnohdy je důležitější umět o přijatých závěrech přesvědčit. Proč se právě u tohoto problému dopouští tolika komunikačních chyb, mi je záhadou.

První personalizovanou odpovědí by mohlo být: I když nemám příznaky, jaká je pravděpodobnost, že jsem nakažen? popř. že jsem nákazu prodělal? Ta první je tak trochu obrazem makroukazatele Rt v osobní rovině – a dovolím si předpokládat, že mezi těmito dvěma bude značná korelace. Tu druhou bude významně ovlivňovat i druhá proměnná, tj. čas. Kromě toho se mohou tyto hodnoty značně lišit v závislosti na lokalitách, ve kterých jsem se pohyboval. Což je mimochodem informace, která je nám odmítána.

Jak vyplývá z modelových scénářů 3 a 4 představených v předchozím článku, jistým ukazatelem, který možná je zahrnut v ukazateli Rt, je i procento pozitivních výsledků testů, které může poukazovat hlavně na nedostatečnou testovací kapacitu.

V diskuzích se často objevuje otázka, k čemu je lidem bez příznaků testování, když je nevyléčí (s podtextem, proč přetěžují testovací kapacity)? Odpovědí je samozřejmě snížení čísla Rt – osoba s pozitivním výsledkem testu (i při chybách, kterými jsou výsledky testů zatíženy) bude patrně přístupnější k aplikaci ochranných opatření, než někdo, kdo si myslí, že se ho to „netýká“. A má-li pozitivní výsledek 20% avíce testovaných, pak se dá předpokládat, že nosičů bez příznaků je mnohem více, než kolik jich testování schopné odchytit. A od nich se mohou (čím je jich více, tím dříve) ostatní, u nichž už o bezpříznakový průběh jít nemusí.

Na druhou stranu, rostoucí druhý ukazatel, který se při exponenciálním růstu bude brzy blížit sto procentům, může naopak být signálem pro tu více se obávající polovinu obyvatel. Je rovněž otázkou, zda, popř. při jaké hodnotě, může dojít k vytvoření kolektivní imunity, která je do té doby, než budou k dispozici dostupné léky či očkování, jediným řešením.

Jak již bylo zmíněno, ještě větší efekt pro akceptaci opatření může mít simulace predikce rizika, tj. odpověď na otázky jako: Pokud se chystám udělat to a to, či půjdu tam a tam, jaká je šance, že se nakazím či že nakazím ostatní (s přihlédnutím k předchozímu ukazateli, že mohu být nositelem, aniž bych to věděl). A následně pak, pokud se nakazím, jaká je pravděpodobnost vážných následků. Podobně jako u předchozího typu otázek, může vyčíslení rizika přesvědčit pochybovače tam, kde budou hodnoty vysoké, a naopak uklidnit panikáře, kde budou zanedbatelně nízko. U vysokých hodnot by pak také stálo za to poskytnout informace o možných opatřeních – některá z nich (např. ochrana úst a nosu a mytí rukou) se vzájemně doplňují, jiná (např. omezení blízkého sociálního kontaktu) jsou alternativou. Simulace rizika v různých modelových situacích (cesta v MHD, výuka ve škole, nákup v supermarketu, osmihodinová pracovní doba v kanceláři či open space s/bez běžící klimatizací/topením, apod.) při aplikaci různých opatření pak může pomoci nalézt optimální variantu, protože úplné odstranění rizika možné není a každé z aplikovaných opatření může mít jiné nepříjemné postranní efekty. Zde je možné naopak zpětně přes osobní odpovědnost stanovit cíl pro makroukazatel – tj. ukázat, jaký vliv může mít dodržování povinných i doporučených opatření na vývoj Rt.

Na tyto otázky bude i dnes jen stěží známá přesná odpověď. Jak se však budeme s průběhem nemoci seznamovat více a více, – i proto by se hodila vzájemná výměna pravdivých informací napříč zeměmi – mělo by být možné zpřesňovat tyto predikce s přihlédnutím k vlivu okolí (hustota osob v daném místě, očekávané míře výskytu nákazy) i zdravotnímu stavu konkrétní osoby ad.

Co by také mohlo přispět ke snížení eskalace, kdyby tato vyčíslení byla k dispozici nejen pro nákazu covid-19. Kromě srovnání s „běžnou chřipkou“ by mohly být údaje k dispozici i např. pro klíšťaty přenášené nemoci, hepatitidu, aj., ale i jiné rizikové druhy chování (např. kouření a pasívní kouření), které mohou mít neméně fatální důsledky.

O tomto víkendu se objevil velice zajímavý článek dr. Matějka hodnotící opatření z pohledu lékařské etiky či důstojnosti člověka. Přestože se vyjadřuje zejména k „našemu zacházení s COVIDem“, jeho poselství je širší – dokonce si myslím, že přesahuje i hranice lékařství a bylo by jej možné použít obecně na vztah autority vůči jednotlivci a naopak odpovědnost jednotlivce vůči celku. Kdo četl moje články, určitě zná můj postoj k přístupu: „Já vím, co je pro tebe dobré,“ který má dva typy zastánců – ty, kteří touží po moci, a ty, kteří naopak touží po tom, aby je někdo zbavil nutnosti se rozhodovat. V tomto smyslu naprosto souhlasím s tvrzením, že „naše zacházení s COVIDem“ představuje mnohem větší hrozbu, či jak píše autor: „etický průšvih.“

A přesto – nepovažoval bych za nedůstojné, pokud by mě někdo, kdo má zodpovědnost za zdraví a životy moje i ostatních, donutil přes můj nesouhlas k dle jeho názoru nejlepším opatřením, i když mi budou nepříjemná. Musí to ovšem fungovat. To neznamená, že se vždy hned vše musí povést na první pokus, ale po nějaké době (a půl roku je už, myslím, docela dlouhá doba) by měl být vidět směr, i přijít výsledky. A nepřijdou-li – pak je třeba vyvodit odpovědnost; a je mi líto, obětní beránky neakceptuji. Ve smyslu předchozích odstavců také podotýkám, že sdílení informací, snahu o vysvětlení stávající situace a opatření, která ji mají zlepšit, možných alternativ a důvodů pro jejich odmítnutí, ale klidně i chyby, pokud bude evidentní snaha o to, poučit se z nich, budu kvitovat pozitivně. Naopak, rozhodování z pozice moci, zkreslování faktů, informační chaos, svádění viny na ostatní či arogance typu „stejně byste tomu nerozuměli“ ve mně bude vyvolávat rezistenci. A pokud budou indicie nasvědčovat tomu, že se rozhodování řídí ve skutečnosti jinými zájmy, než je péče o zdraví a životy, pak se domnívám, že asi nastal čas na výměnu na trenérské lavičce. Tady ovšem nehrajeme Sparta proti Slávii či Baník proti Plzni – je třeba hledat to nejlepší pro celý národní tým. A nenajde-li se nikdo na domácí scéně, možná bychom si tuto expertízu mohli nakoupit zvenčí – třeba by nově příchozí podobně jako trenér basketbalistů Ronen Ginzburg dokázal malý zázrak.